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Pólos de Regge

O exemplo mais simples dos pólos de Regge é fornecido pela abordagem mecânica quântica do potencial de Coulomb ${\displaystyle �(�)=-{�}^2/(4�{�}_0�)}$ ou, diferentemente, pelo tratamento mecânico quântico da ligação ou dispersão de um elétron de massa e carga elétrica ${\displaystyle -�}$ de um próton de massa ${\displaystyle �}$ e carga ${\displaystyle +�}$. A energia ${\displaystyle �}$ da ligação do elétron ao próton é negativa, enquanto que, para a dispersão, a energia é positiva. A fórmula para a energia de ligação é a expressão:

${\displaystyle �\to �(�)=-�+�(�),�(�)=-1+�\frac{�{�}^2}{4�{�}_0ℎ}(2{�}^{\prime }/�{)}^{1/2}.}$

Considerada como uma função complexa de ${\displaystyle �}$, essa expressão descreve no plano-${\displaystyle �}$ complexo um caminho que é chamado de "trajetória de Regge". Assim, nesta consideração, o momento orbital pode assumir valores complexos.

As trajetórias de Regge podem ser obtidas para muitos outros potenciais, em particular também para o potencial de Yukawa^[4].

As trajetórias de Regge aparecem como pólos da amplitude de dispersão^[5] ou na matriz-S relacionada. No caso do potencial de Coulomb considerado acima, esta matriz-S é dada pela seguinte expressão:

${\displaystyle �=\frac{\mathrm{\Gamma }(�-�(�))}{\mathrm{\Gamma }(�+�(�))}{�}^{-���},}$

onde ${\displaystyle \mathrm{\Gamma }(�)}$ é a função gama, uma generalização de fatorial ${\displaystyle (�-1)!}$.

Esta função gama é uma função meromorfa do seu argumento com pólos simples em ${\displaystyle �=-�,�=0,1,2,...}$. Assim, a expressão para ${\displaystyle �}$ (a função gama no numerador) possui pólos precisamente nesses pontos, que são dadas pela expressão acima para as trajetórias de Regge; por isso o nome pólos de Regge.

Na física quântica, a amplitude de dispersão é a amplitude de probabilidade da saída onda esférica^[1] em relação à onda plana de entrada no processo de dispersão do estado estacionário^[2] .

Este processo de dispersão é descrito pela seguinte função de onda

${\displaystyle �(\mathbf{�})={�}^{���}+�(�)\frac{{�}^{���}}{�},}$

onde ${\displaystyle \mathbf{�}\equiv (�,�,�)}$ é o vetor de posição; ${\displaystyle �\equiv |\mathbf{�}|}$; ${\displaystyle {�}^{���}}$ é a onda plana de entrada com o número de onda k ao longo do eixo z; ${\displaystyle {�}^{���}/�}$ é a onda esférica de saída; θé o ângulo de dispersão; e ${\displaystyle �(�)}$ é a amplitude de espalhamento. A dimensão da amplitude de dispersão é o comprimento.

A amplitude de dispersão é uma amplitude de probabilidade; a secção transversal do diferencial como uma função de ângulo de dispersão é dado como o seu módulo quadrado^[3],

${\displaystyle \frac{��}{�\mathrm{\Omega }}=|�(�){|}^2.}$